Vecteur aléatoire discret

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Définition :
Soient \(X_1,\ldots,X_m\) des variables aléatoires discrètes définies sur un même espace \((\Omega,{\mathcal F},P)\)
On appelle vecteur aléatoire \((X_1,\ldots,X_m)\) l'application $$\begin{align}\Omega&\longrightarrow{\Bbb R}^m\\ \omega&\longmapsto (X_1(\omega),\ldots,X_m(\omega))\end{align}$$
Sa loi est la probabilité \(P_{X_1,\ldots,X_m}\). Elle est définie sur \({\mathcal P}({\Bbb R}^m)\) par : $$\forall B\subset {\Bbb R}^m,\qquad P_{X_1,\ldots,X_m}(B)=P(\{\omega\in\Omega\mid (X_1(\omega),\ldots,X_m(\omega))\in B\})$$
Cette loi est caractérisée par les probabilités d'intersection $$P(X_1=x_1,\ldots,X_m=x_m)=P\left(\bigcap^m_{i=1}\{X_i=x_i\}\right)$$ pour toutes les valeurs \(x_1\in X_1(\Omega),\ldots,x_m\in X_m(\Omega)\)

(Espace probabilisé)

Nomenclature

Remarque :
Quand \(m=2\), on parle de couple aléatoire au lieu de vecteur aléatoire

Remarque :
La variable aléatoire \(X_i\) est la \(i\)-ème marginale du vecteur aléatoire
Sa loi \(P_{X_i}\) est la \(i\)-ème loi marginale

Propriétés

Isoler la probabilité d'une variable dans un couple aléatoire

Remarque :
Si \((X,Y)\) est un couple aléatoire, alors $$\forall x\in X(\Omega),\qquad {{P(X=x)}}={{\sum_{y\in Y(\Omega)}P(X=x,Y=y)}}$$

Exercices

Consigne: On suppose que les couples de variables aléatoires discrètes \((X,Y)\) a une loi donnée par : $$\forall(i,j)\in{\Bbb N}^2,\qquad P(X=i,Y=j)=\frac\alpha{(1+i+j)!}$$ où \(\alpha\) est une constante strictement positive
Expliquer sans calcul pourquoi les marginales \(X\) et \(Y\) ont la même loi

Développer la proba en somme \(\to\) retrouver \(P(Y=i)\)

$$\begin{align} P(X=i)&=\sum^{+\infty}_{j=0}P(X=i,Y=j)\\ &=\sum^{+\infty}_{j=0}\frac\alpha{(1+i+j)!}\\ &=\sum^{+\infty}_{j=0}P(X=j,Y=i)\\ &=P(Y=i)\end{align}$$

Consigne: On suppose que les couples de variables aléatoires discrètes \((X,Y)\) a une loi donnée par : $$\forall(i,j)\in{\Bbb N}^2,\qquad P(X=i,Y=j)=\frac\alpha{(1+i+j)!}$$
\(X\) et \(Y\) ont la même loi
On pose \(S=X+Y\). Montrer que : $$\forall k\in{\Bbb N},\quad P(S=k)=\frac\alpha{k!}$$

Consigne: On suppose que le couple de variables aléatoires discrètes \((X,Y)\) a une loi donnée par : $$\forall(i,j)\in({\Bbb N}^*)^2,\qquad(X=i,Y=j)=\frac{2^i-1}{2^{ij+i}}$$calculer la loi de \(X\) et donner son nom, son paramètre et son espérance

Probas totales
$$\begin{align} P(X=i)&=\sum^{+\infty}_{j=1}P(X=i,Y=j)=\sum^{+\infty}_{j=1}\frac{2^i-1}{2^{ij+i}}\end{align}$$

Calculer la série via série géométrique
$$=\frac{2^i-1}{2^i}\sum^{+\infty}_{j=1}\frac{1}{(2^i)^j}=\frac1{2^i}$$

Détails sur la loi
$$=\frac12\left(1-\frac12\right) ^{i-1}$$ donc \(X\sim\mathcal{Géom}(\frac12)\) et \(E(X)=2\)